La moyenne mobile en tant que filtre La moyenne mobile est souvent utilisée pour lisser les données en présence de bruit. La moyenne mobile simple n'est pas toujours reconnue comme le filtre à réponse impulsionnelle finie (FIR) qu'il est, alors qu'il est effectivement l'un des filtres les plus courants dans le traitement du signal. Le traiter comme un filtre permet de le comparer avec, par exemple, des filtres de fenêtre-sinc (voir les articles sur les filtres passe-bas, passe-haut, bande passante et rejet de bande pour des exemples de ceux-ci). La différence majeure avec ces filtres est que la moyenne mobile convient pour des signaux pour lesquels les informations utiles sont contenues dans le domaine temporel. Dont les mesures de lissage par moyenne sont un excellent exemple. Par contre, les filtres Windowed-sinc sont performants dans le domaine fréquentiel. Avec une égalisation dans le traitement audio comme exemple typique. Il existe une comparaison plus détaillée des deux types de filtres dans le domaine temporel vs la performance de domaine de fréquence des filtres. Si vous disposez de données pour lesquelles le temps et le domaine fréquentiel sont importants, vous voudrez peut-être consulter les Variations sur la moyenne mobile. Qui présente un certain nombre de versions pondérées de la moyenne mobile qui sont mieux à cela. La moyenne mobile de la longueur (N) peut être définie comme écrite telle qu'elle est typiquement mise en œuvre, l'échantillon de sortie courant étant la moyenne des échantillons précédents (N). Vu sous forme de filtre, la moyenne mobile réalise une convolution de la séquence d'entrée (xn) avec une impulsion rectangulaire de longueur (N) et de hauteur (1N) (pour faire la zone de l'impulsion et donc le gain du filtre , un ). En pratique, il est préférable de prendre (N) impair. Bien qu'une moyenne mobile puisse également être calculée en utilisant un nombre pair d'échantillons, l'utilisation d'une valeur impaire pour (N) présente l'avantage que le retard du filtre sera un nombre entier d'échantillons, puisque le retard d'un filtre avec (N) Est exactement ((N-1) 2). La moyenne mobile peut alors être alignée exactement avec les données d'origine en la décalant par un nombre entier d'échantillons. Domaine temporel Puisque la moyenne mobile est une convolution à impulsion rectangulaire, sa réponse en fréquence est une fonction sinc. Cela fait quelque chose comme le dual du filtre windowed-sinc, puisqu'il s'agit d'une convolution avec un impulsion sinc qui se traduit par une réponse en fréquence rectangulaire. C'est cette réponse en fréquence sinc qui fait de la moyenne mobile un mauvais interprète dans le domaine de la fréquence. Cependant, il fonctionne très bien dans le domaine temporel. Par conséquent, il est parfait pour lisser les données pour supprimer le bruit tout en conservant une réponse rapide (Figure 1). Pour le bruit typiquement blanc Gaussien (AWGN) qui est souvent supposé, la moyenne (N) des échantillons a pour effet d'augmenter le SNR par un facteur de (sqrt N). Comme le bruit pour les échantillons individuels n'est pas corrélé, il n'y a aucune raison de traiter chaque échantillon différemment. Par conséquent, la moyenne mobile, qui donne à chaque échantillon le même poids, se débarrasser de la quantité maximale de bruit pour une netteté donnée réponse étape. Implémentation Parce qu'il s'agit d'un filtre FIR, la moyenne mobile peut être mise en œuvre par convolution. Il aura alors la même efficacité (ou son absence) que tout autre filtre FIR. Cependant, il peut également être mis en œuvre de façon récursive, de manière très efficace. Il résulte directement de la définition que cette formule est le résultat des expressions pour (yn) et (yn1), c'est-à-dire où l'on remarque que le changement entre (yn1) et (yn) est qu'un terme supplémentaire (xn1N) La fin, tandis que le terme (xn-N1N) est retiré du début. Dans les applications pratiques, il est souvent possible d'exclure la division par (N) pour chaque terme en compensant le gain résultant de (N) à un autre endroit. Cette implémentation récursive sera beaucoup plus rapide que la convolution. Chaque nouvelle valeur de (y) peut être calculée avec seulement deux ajouts, au lieu des (N) ajouts qui seraient nécessaires pour une mise en œuvre simple de la définition. Une chose à surveiller avec une implémentation récursive est que les erreurs d'arrondi s'accumuleront. Cela peut être ou non un problème pour votre application, mais cela implique également que cette implémentation récursive fonctionnera mieux avec une implémentation entière qu'avec des nombres à virgule flottante. Ceci est assez inhabituel, car une mise en œuvre à virgule flottante est généralement plus simple. La conclusion de tout cela doit être que vous ne devriez jamais sous-estimer l'utilité du filtre simple moyenne mobile dans les applications de traitement du signal. Outil de conception de filtre Cet article est complété par un outil de conception de filtre. Expérimentez avec différentes valeurs pour (N) et visualisez les filtres résultants. Essayez-le maintenantRéponse de fréquence du filtre de moyenne courante La réponse de fréquence d'un système de LTI est le DTFT de la réponse d'impulsion, La réponse d'impulsion d'une moyenne mobile de L-échantillon est puisque le filtre de moyenne mobile est FIR, la réponse de fréquence se réduit au fini Somme Nous pouvons utiliser l'identité très utile pour écrire la réponse en fréquence comme où nous avons laisser ae minus jomega. N 0 et M L moins 1. On peut s'intéresser à l'ampleur de cette fonction afin de déterminer quelles fréquences passent par le filtre sans atténuation et qui sont atténuées. Ci-dessous un graphique de l'ampleur de cette fonction pour L 4 (rouge), 8 (vert) et 16 (bleu). L'axe horizontal va de zéro à pi radians par échantillon. Notez que dans les trois cas, la réponse en fréquence a une caractéristique passe-bas. Une composante constante (fréquence zéro) dans l'entrée passe par le filtre sans atténuation. Certaines fréquences plus élevées, telles que pi 2, sont complètement éliminées par le filtre. Cependant, si l'intention était de concevoir un filtre passe-bas, alors nous n'avons pas très bien fait. Certaines des fréquences plus élevées sont atténuées seulement par un facteur d'environ 110 (pour la moyenne mobile à 16 points) ou 13 (pour la moyenne mobile à quatre points). Nous pouvons faire beaucoup mieux que cela. Le diagramme ci-dessus a été créé par le code Matlab suivant: omega 0: pi400: pi H4 (14) (1-exp (-iomega4)) (1-exp (-iomega)) H8 (18) Iomega8)) (1-exp (-iomega)) tracé (oméga, abs (H4) abs (H8) abs (1-exp (-iomega) H16)) (0, pi, 0, 1) Copie de copyright 2000 - Université de Californie, BerkeleyI besoin de concevoir un filtre de moyenne mobile qui a une fréquence de coupure de 7,8 Hz. J'ai utilisé des filtres de moyenne mobile avant, mais pour autant que je sache, le seul paramètre qui peut être alimenté est le nombre de points à évaluer. Comment cela peut-il se rapporter à une fréquence de coupure L'inverse de 7,8 Hz est de 130 ms, et Im travaillant avec des données qui sont échantillonnées à 1000 Hz. Est-ce que cela implique que je devrais utiliser une taille moyenne de fenêtre de filtre mobile de 130 échantillons, ou est-il quelque chose d'autre qui manque ici demandé Le filtre de la moyenne mobile est le filtre utilisé dans le domaine temporel pour supprimer Le bruit ajouté et également pour le but de lissage, mais si vous utilisez le même filtre de la moyenne mobile dans le domaine fréquentiel pour la séparation de fréquence, alors la performance sera pire. Donc dans ce cas, utilisez des filtres de domaine de fréquence ndash user19373 Feb 3 16 at 5:53 Le filtre de moyenne mobile (parfois connu colloquially comme un filtre boxcar) a une réponse impulsionnelle rectangulaire: Or, déclaré différemment: Rappelant qu'une réponse en fréquence à temps discret Est égale à la transformée de Fourier à temps discret de sa réponse impulsionnelle, on peut la calculer comme suit: Ce qui a été le plus intéressé pour votre cas est la réponse en amplitude du filtre, H (oméga). En utilisant quelques manipulations simples, nous pouvons obtenir que dans une forme plus facile à comprendre: Cela peut ne pas sembler plus facile à comprendre. Cependant, en raison de l'identité d'Eulers. Rappelez-vous que: Par conséquent, nous pouvons écrire ce qui précède comme: Comme je l'ai dit auparavant, ce que vous êtes vraiment préoccupé par l'amplitude de la réponse en fréquence. Remarque: Nous sommes en mesure de supprimer les termes exponentiels car ils n'influencent pas l'ampleur du résultat e1 pour toutes les valeurs d'oméga. Puisque xy xy pour deux nombres finis quelconques x et y, on peut conclure que la présence des termes exponentiels n'affecte pas la réponse de la grandeur globale (au lieu de cela, ils affectent la réponse de phase des systèmes). La fonction résultante à l'intérieur des parenthèses d'amplitude est une forme d'un noyau de Dirichlet. Il est parfois appelé une fonction périodique sinc, car il ressemble à la fonction sinc un peu en apparence, mais est périodique à la place. Quoi qu'il en soit, puisque la définition de la fréquence de coupure est un peu sous-spécifiée (-3 dB point -6 dB point premier lobe latéral null), vous pouvez utiliser l'équation ci-dessus pour résoudre ce que vous avez besoin. Plus précisément, vous pouvez effectuer les opérations suivantes: Définissez H (omega) sur la valeur correspondant à la réponse du filtre que vous voulez à la fréquence de coupure. Réglez les oméga égales à la fréquence de coupure. Pour cartographier une fréquence de temps continu au domaine à temps discret, n'oubliez pas que le fragment omega 2pi, où fs est votre taux d'échantillonnage. Trouvez la valeur de N qui vous donne le meilleur accord entre les côtés gauche et droit de l'équation. Cela devrait être la longueur de votre moyenne mobile. Si N est la longueur de la moyenne mobile, alors une fréquence de coupure approchée F (valable pour N gt 2) dans la fréquence normalisée Fffs est: L'inverse de ceci est Cette formule est asymptotiquement correcte pour N grand et a environ 2 erreur Pour N2, et moins de 0,5 pour N4. P. S. Après deux ans, voici enfin quelle était l'approche suivie. Le résultat a été basé sur l'approximation du spectre d'amplitude MA autour de f0 comme une parabole (série de 2ème ordre) selon MA (Omega) environ 1 (frac-fra) Omega2 qui peut être rendu plus exact près du passage à zéro de MA (Omega) La solution de MA (Omega) - frac 0 donne les résultats ci-dessus, où 2pi F Omega. La solution de MA (Omega) - frac 0 donne les résultats ci-dessus, où 2pi F Omega. Tout ce qui précède se rapporte à la fréquence de coupure -3dB, le sujet de ce post. Parfois, il est intéressant d'obtenir un profil d'atténuation en bande d'arrêt qui est comparable à celui d'un filtre passe-bas IIR de premier ordre (LPF unipolaire) avec une fréquence de coupure -3 dB donnée (un tel LPF est également appelé intégrateur à fuite, Ayant un pôle pas exactement à DC mais près de lui). En fait, tant le MA que le 1er ordre IIR LPF ont une pente de 20dBdecade dans la bande d'arrêt (on a besoin d'un N plus grand que celui utilisé dans la figure, N32, pour voir cela), mais alors que MA a des nuls spectrales à FkN et un 1f evelope, le filtre IIR n'a qu'un profil 1f. Si l'on veut obtenir un filtre MA avec des capacités de filtrage du bruit similaires à celles de ce filtre IIR, et que les fréquences de coupure 3dB soient les mêmes, après comparaison des deux spectres, il réalisera que l'ondulation de bande d'arrêt du filtre MA finit 3dB au-dessous de celle du filtre IIR. Afin d'obtenir la même ondulation de bande d'arrêt (c'est-à-dire la même atténuation de puissance de bruit) que le filtre IIR, les formules peuvent être modifiées comme suit: J'ai retrouvé le script Mathematica où j'ai calculé la coupure pour plusieurs filtres, y compris MA. Le résultat est basé sur l'approximation du spectre MA autour de f0 comme une parabole selon MA (Omega) Sin (OmegaN2) Sin (Omega2) Omega 2piF MA (F) environ N16F2 (N-N3) pi2. Et en dérivant le croisement avec 1sqrt de là. Ndash Massimo Jan 17 16 à 2:08
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