Modèle binomial de tarification d'options Le modèle binomial de tarification d'options est une méthode d'évaluation des options développée en 1979. Le modèle binomial de tarification d'options utilise une procédure itérative permettant de spécifier des noeuds ou des points dans le temps pendant le temps Entre la date d'évaluation et la date d'expiration des options. Le modèle réduit les possibilités de changement de prix et supprime la possibilité d'arbitrage. Un exemple simplifié d'un arbre binomial pourrait ressembler à ceci: BREAKING DOWN Modèle de tarification d'option binomiale Le modèle de prix d'option binomial suppose un marché parfaitement efficace. Dans cette hypothèse, il est en mesure de fournir une évaluation mathématique d'une option à chaque point dans le délai spécifié. Le modèle binomial adopte une approche de l'évaluation neutre en termes de risque et suppose que les cours sous-jacents des titres ne peuvent qu'accroître ou diminuer avec le temps jusqu'à ce que l'option expire sans valeur. Exemple de tarification binomiale Un exemple simplifié d'un arbre binomial n'a qu'un seul pas de temps. Supposons qu'il ya un stock qui est au prix de 100 par action. Dans un mois, le prix de ce stock va augmenter de 10 ou baisser de 10, ce qui crée cette situation: Prix de Stock 100 Prix de Stock (état à la hausse) 110 Prix de Stock (bas état) 90 Ensuite, supposons qu'il existe une option d'appel disponible Sur ce stock qui expire dans un mois et a un prix d'exercice de 100. Dans l'état ascendant, cette option d'appel vaut 10, et à l'état bas, il vaut 0. Le modèle binomial peut calculer ce que le prix de l'appel Option devrait être aujourd'hui. À des fins de simplification, supposons qu'un investisseur achète une moitié de l'action et écrit, ou vend, une option d'achat. L'investissement total aujourd'hui est le prix de la moitié d'une action moins le prix de l'option et les gains possibles à la fin du mois sont: Coût aujourd'hui 50 - prix de l'option Valeur du portefeuille (état en hausse) 55 - max (110 - 100, 0) 45 Valeur du portefeuille (état bas) 45 - max (90 - 100, 0) 45 Le rendement du portefeuille est égal quel que soit le mouvement du cours de l'action. Compte tenu de ce résultat, en supposant qu'il n'y ait aucune possibilité d'arbitrage, un investisseur devrait obtenir le taux sans risque au cours du mois. Le coût aujourd'hui doit être égal à la rémunération actualisée au taux sans risque pendant un mois. L'équation à résoudre est donc: Prix d'option 50 - 45 xe (taux sans risque x T), où e est la constante mathématique 2.7183 En supposant que le taux sans risque est de 3 par an et T égal à 0.0833 (un divisé par 12 ), Alors le prix de l'option d'achat est aujourd'hui de 5,11. En raison de sa structure simple et itérative, le modèle binomial d'évaluation des options présente certains avantages uniques. Par exemple, puisqu'il fournit un flux d'évaluations pour un dérivé pour chaque nœud dans un laps de temps, il est utile pour évaluer des dérivés tels que des options américaines. Il est également beaucoup plus simple que d'autres modèles de tarification tels que le modèle Black-Scholes. Tutoriel de tarification optionnelle et tableurs Ce tutoriel présente le choix des options binomiales et offre une feuille de calcul Excel pour vous aider à mieux comprendre les principes. En outre, une feuille de calcul qui les prix Vanille et exotiques options avec un arbre binomial est fourni. Faites défiler la page vers le bas de cet article pour télécharger les tableurs, mais lisez le didacticiel si vous voulez vous appuyer sur les principes qui sous-tendent le choix des options binomiales. Binomial option de prix est basé sur une hypothèse sans arbitrage, et est une méthode mathématiquement simple, mais étonnamment puissant pour les options de prix. Plutôt que de compter sur la solution aux équations différentielles stochastiques (ce qui est souvent complexe à mettre en œuvre), la tarification des options binomiales est relativement simple à mettre en œuvre dans Excel et est facilement compréhensible. L'absence d'arbitrage signifie que les marchés sont efficaces et que les placements gagnent le taux de rendement sans risque. Les arbres binomiaux sont souvent utilisés pour évaluer les options de vente américaines. Pour lesquels (contrairement aux options de vente européennes) il n'existe pas de solution analytique étroite. Arbre de prix de l'actif sous-jacent Considérez un stock (avec un prix initial de S 0) subissant une marche aléatoire. Sur une période de temps t, le stock a une probabilité p de monter d'un facteur u, et une probabilité 1-p de chute de prix d'un facteur d. Ceci est illustré par le diagramme suivant. Cox, Ross et Rubenstein Le modèle Cox, Ross et Rubenstein (CRR) a suggéré une méthode pour calculer p, u et d. D'autres méthodes existent (comme les modèles Jarrow-Rudd ou Tian), mais l'approche CRR est la plus populaire. Sur une petite période de temps, le modèle binomial agit de manière similaire à un atout qui existe dans un monde neutre au risque. Il en résulte l'équation suivante, qui implique que le retour effectif du modèle binomial (à droite) est égal au taux sans risque. En outre, la variance d'un actif neutre en termes de risque et d'un actif dans un rapport neutre au risque Monde. Ceci donne l'équation suivante. Le modèle CRR suggère la relation suivante entre les facteurs à la hausse et à la baisse. En réarrangant ces équations, on obtient les équations suivantes pour p, u et d. Les valeurs de p, u et d données par le modèle CRR signifient que le prix de l'actif initial sous-jacent est symétrique pour un modèle binomial à plusieurs étapes. Modèle binomial en deux étapes Il s'agit d'un réseau binomial en deux étapes. À chaque étape, le cours des actions augmente d'un facteur u ou d'un facteur d. Notez qu'à la deuxième étape, il ya deux prix possibles, u d S 0 et d u S 0. Si ceux-ci sont égaux, on dit que le treillis se recombine. S'ils ne sont pas égaux, on dit que le treillis est non recombiné. Le modèle CRR assure un réseau de recombinaison l'hypothèse que u 1d signifie que u d S 0 d u S 0 S 0. Et que le réseau est symétrique. Modèle binomial multi-étapes Le modèle binomial multi-étapes est une simple extension des principes donnés dans le modèle binomial en deux étapes. Nous avançons simplement dans le temps, augmentant ou diminuant le prix des actions d'un facteur u ou d à chaque fois. Chaque point du réseau est appelé noeud, et définit un prix d'actif à chaque point dans le temps. En réalité, beaucoup plus d'étapes sont généralement calculées que les trois illustrées ci-dessus, souvent des milliers. Paiements pour le prix des options Nous considérerons les fonctions de paiement suivantes. V N est le prix de l'option au noeud d'expiration N, X est le prix de grève ou d'exercice, S N est le cours de l'action au noeud d'expiration N. Nous devons maintenant actualiser les paiements jusqu'à aujourd'hui. Cela implique de reculer dans le treillis, en calculant le prix de l'option à chaque point. Cela se fait avec une équation qui varie en fonction du type d'option envisagé. Par exemple, les options européennes et américaines sont tarifées avec les équations ci-dessous. N est tout noeud avant expiration. Binomial Option Prix dans Excel Cette feuille de calcul Excel met en œuvre un réseau binomial de tarification pour calculer le prix d'une option. Entrez simplement certains paramètres comme indiqué ci-dessous. Excel générera alors le réseau binomial pour vous. La feuille de calcul est annotée pour améliorer votre compréhension. Notez que le cours de l'action est calculé en avant dans le temps. Cependant, le prix de l'option est calculé à partir du moment de l'expiration jusqu'à aujourd'hui (c'est ce qu'on appelle l'induction vers l'arrière). La feuille de calcul compare également le prix Put et Call donné par le réseau binomial d'évaluation des prix avec celui donné par la solution analytique de l'équation de Black-Scholes pour de nombreuses étapes de temps dans le réseau, les deux prix convergent. Si vous avez des questions ou des commentaires au sujet de ce binomial option pricing tutoriel ou la feuille de calcul, alors s'il vous plaît faites le moi savoir. Tarification Vanille et options exotiques avec Binomial Tree dans Excel Cette table Excel table sur plusieurs types d'options (européen, américain, Shout, Chooser, Compound) avec un arbre binomial. La feuille de calcul calcule également les Grecs (Delta, Gamma et Theta). Le nombre d'étapes de temps est facilement varié. La convergence est rapide. Les algorithmes sont écrits dans VBA protégé par mot de passe. Si vous souhaitez voir et modifier le VBA, achetez le tableur non protégé sur investexcelbuy-spreadsheets. Bonjour, je me demandais si vous avez des feuilles de calcul qui calculent le prix d'une option en utilisant le modèle binomial d'évaluation des options (CRR) (y compris le rendement des dividendes) .. puis une comparaison avec le noir Scholes prix (pour les mêmes variables) pourrait être montré sur un graphique (montrant la convergence) I8217ve piraté ensemble cette feuille de travail. Il compare les prix des options européennes offertes par les équations analytiques et un arbre binomial. Vous pouvez changer le nombre d'étapes binomiales pour comparer la convergence avec la solution analytique. Salut, le modèle fonctionne parfaitement lorsque le prix de l'exercice est proche du cours de l'action et / ou Le temps de maturité est proche du nombre d'étapes. I8217m novice dans les modèles Binomial et ont expérimenté en changeant le prix d'exercice et / ou le nombre d'étapes substantiellement. Si j'ai un lointain de prix de grève d'argent. La valeur du modèle Binomial approche Zéro tandis que la valeur BampS est plus 8220resistant8221. Si je diminue le nombre d'étapes à 1, la valeur des modèles Binomial augmente de façon spectaculaire tandis que la valeur BampS reste la même. Y at-il quelque chose que vous pouvez dire sur les limitations concernant le modèle binomial. Quand utiliser et ne pas utiliser. John Slice dit: Avez-vous des feuilles de calcul d'un arbre binomial avec un stock qui paie des dividendes trimestriels, je peux sembler savoir comment gérer cela. Il ya plusieurs façons d'aller à ce sujet. La meilleure façon est d'utiliser un modèle de dividende discret et d'entrer la date réelle de paiement du dividende. Je n'ai pas vu un modèle approprié dans investexcel encore. À la place de cela, il suffit de déterminer la valeur totale en dollars de tous les dividendes trimestriels versés entre Time0 et l'expiration. Prendre ce nombre, diviser par le prix actuel des actions pour obtenir un rendement dividende. Utilisez ce rendement dans les modèles fournis par Samir. L'inexactitude majeure viendra d'un mispricing de la prime américaine comme un dividende important payé demain vs le même dividende payé un jour avant l'expiration auront des effets différents sur la prime américaine. Je l'ai compris maintenant. J'ai juste dû ajouter d'autres étapes au modèle. Ça marche bien maintenant. Merci pour un modèle explicatif et relativement simple. Salut, Pouvez-vous me point point d'information sur la façon de calculer les Grecs de ces options en utilisant le modèle binomial Je sais comment le faire pour Black-Scholes, mais pas pour les options américaines. Merci pour toute aide que vous pouvez me donner, et un excellent travail sur votre feuille de calcul. Tout d'abord, je tiens à vous remercier pour l'affichage de cette, en particulier la feuille de calcul Excel qui montre l'arbre de prix binomial avec des illustrations guides. Extrêmement utile. Deuxièmement, j'ai joué avec ce fichier, et je crois avoir découvert un petit buste dans la feuille de calcul. Tout en essayant de comprendre comment l'équation de prix d'option de vente fonctionne dans la cellule E9, j'ai remarqué que la formule renvoie B12 (nSteps), mais je suis sûr qu'il est censé référencer B11 (TimeToMaturity) à la place. Il me semble que la logique de cette formule est que le prix de l'option de vente est déterminé par le prix de l'achat de l'appel et la vente du stock sous-jacent (création d'un put synthétique, mise de côté des dividendes à cet effet) Cette valeur en actualisant la future grève de la put par r pour t périodes, que je semble vaguement se rappeler est l'ajustement pour le taux de rendement imputé sur l'excédent de trésorerie de la vente d'actions. Dans tous les cas, les étapes en principe ne devraient pas entrer en jeu ici. D, j'ai vu la même chose sur la mise de prix ainsi. Je pense qu'il essayait d'utiliser put-call parity1, mais comme vous le note8217s en utilisant la mauvaise variable. Formule devrait être: E8StrikePriceEXP (-RiskFreeRateTimeToMaturity) - SpotPrice Aussi, je pense qu'il ya une erreur dans la 8220up probabilité 8221 cell ainsi. Vous devez soustraire le rendement de dividende du taux d'intérêt, donc la formule devrait être: (EXP ((B9-B13) B16) - B18) (B17-B18) Merci pour la feuille de calcul J'ai apprécié votre gabarit binomial treillis excel. J'utilise le modèle pour prévoir les prix de l'or pour une durée de vie de 20 ans. Comment puis-je dériver juste la prévision de prix, au lieu d'actualisation comme souvent fait. Dans l'attente de votre aide et je vais vous reconnaître dans mon article de thèse Hey Samir, puis-je seulement faire 5 étapes avec le modèle Serait-il possible d'ajouter d'autres étapes Merci et meilleures salutations Peet PS Est la formule déjà ajustée comme proposé par D et Le modèle binomial pour la tarification des options est basé sur un cas particulier dans lequel le prix d'un stock sur une certaine période peut soit augmenter de u pour cent, soit en baisse de d pour cent . Si S est le prix courant alors la période suivante le prix sera S u S (1u) ou S d S (1d). Si une option d'achat est détenue sur le stock à un prix d'exercice de E alors le gain sur l'appel est soit C u max (S u E, 0) soit C d max (S d - E, 0). Laissez l'intérêt sans risque être r et assumer dltrltu. Maintenant, considérons un portfolis composé d'un appel écrit et h actions du stock. C'est-à-dire que le propriétaire du portefeuille détient h actions du stock puis vend (écrit) un appel avec une date d'expiration d'une période. Si le cours de l'action augmente, le portefeuille a une valeur de V u hS (1u) - C u et si elle descend vers V d hS (1d) - C d. Supposons que h soit choisi de façon à ce que le portefeuille ait le même prix si le cours de l'action augmente ou diminue. La valeur de h qui atteint cette condition est donnée par hS (1u) - C u hS (1d) - C d ou h (C u - C d) (S u - S d) (max (S uE, 0 ) - max (S d - E, 0)) (S u-S d). Ainsi, étant donné seulement S, E, u, et d, le rapport h peut être déterminé. En particulier, elle ne dépend pas de la probabilité d'une hausse ou d'une baisse. La valeur de h qui rend la valeur du portefeuille indépendante du cours de l'action est appelée ratio de couverture. Un portefeuille parfaitement couvert est un portefeuille sans risque et sa valeur devrait croître au taux sans risque, c'est-à-dire r. La valeur courante du portefeuille couvert est la valeur des actions moins la responsabilité liée à l'écriture de l'appel. Si C représente la valeur de la propriété de l'appel alors la responsabilité implique d'avoir écrit l'appel est - C. Par conséquent, la valeur du portefeuille est (hS-C). Après une période de croissance au taux sans risque, sa valeur sera (1r) (hS-C), qui est identique à (hS (1u) - Cu) (hS (1d) - C d). La résolution pour C donne C hS - (hS (1u) - Cu) (1r) hS - hS (1u) (1r) Cu (1r) hS1 - (1u) (1r) C u (1r) (hS ) C (C-Cd) (C u-Cd) S (ud) C (C) (D) (ud) C u (1r) C u (ru) (ud) 1 C d (ru) (ud) (Ud) (1r) Si (rd) (ud) est notée p alors 1 p (ud) - (rd) (ud) (ur) (ud) donc C pC u (1-p) C d ) Ainsi, la valeur de l'option d'achat est la valeur actualisée d'une moyenne pondérée de la valeur de la date d'expiration de l'appel. Exemple: Soit u0.1, d-0.1, r 0.05, S 100 et E 95. Alors S u 110 et S d 90 et par conséquent C u 15 et C d 0. h (15-0) (110-90) 0,75 p (0,05 - (-0,1)) (0,1 - (-0,1)) 0,150,20 34 C (34) 15 (14) 0 (1,05) 11,51.05 10,71. Voyons cela en calculant la valeur du portefeuille. 0,75 part du stock 100 - 10,71 75,00 - 10,71 64,29. Si le prix du stock s'élève à 110 alors le portefeuille sera la valeur (.75) (110) - 15 82.50 - 15.00 67.50. Si le prix du stock tombe à 90 le portefeuille sera la valeur (.75) (90) 67,50. Le résultat d'une période peut être utilisé pour déterminer la valeur d'un appel avec deux périodes avant expiration. Les deux résultats de la période donne alors le résultat de la période trois et ainsi de suite. Les résultats semblent les mêmes que si on calculait la valeur attendue de la date de péremption lorsque la probabilité que le cours des actions augmente dans une période est p et la probabilité de descendre est (1-p). PAGE D'ACCUEIL de magie-magie PAGE D'ACCUEIL DE Thayer WatkinsOption Prix en utilisant le modèle binomial Les modèles binomiaux (et il y en a plusieurs) sont sans doute les techniques les plus simples utilisées pour le prix des options. Les mathématiques derrière les modèles est relativement facile à comprendre et (au moins sous leur forme de base), ils ne sont pas difficiles à mettre en œuvre. Ce tutoriel discute des concepts mathématiques généraux derrière le modèle binomial en accordant une attention particulière à la formulation originale du modèle binomial par Cox, Ross et Rubinstein (CRR). Un exemple de mise en œuvre du modèle CRR dans MATLAB peut être trouvé dans ce tutoriel. Cependant, il existe de nombreuses autres versions du modèle binomial. Plusieurs d'entre eux, y compris une discussion de leurs mathématiques sous-jacentes et un exemple de leur mise en œuvre dans MATLAB, sont présentés dans un didacticiel d'évaluation des options d'accompagnement. Chacune des approches présente ses avantages et ses inconvénients pour la tarification de différents types d'options. Cependant, ils impliquent tous un processus similaire en trois étapes. Calculer les prix futurs potentiels du ou des sous-jacents à l'échéance (et éventuellement à des points intermédiaires dans le temps également). Calculer le rendement de l'option à l'échéance pour chacun des prix sous-jacents potentiels. Remboursez les paiements de retour à aujourd'hui pour déterminer le prix de l'option aujourd'hui. Chacune de ces étapes est discutée dans les sections suivantes. Calcul d'un arbre pour le prix de l'actif sous-jacent La première étape des options de tarification à l'aide d'un modèle binomial est de créer un réseau ou un arbre de prix futurs potentiels du ou des actifs sous-jacents. Cette section explique comment cela est réalisé. Le modèle binomial à une étape Un modèle binomial en une étape est montré dans la figure 1. La notation utilisée est, S 0. Le prix des actions aujourd'hui. P. La probabilité d'une hausse des prix. U. Le facteur par lequel le prix augmente (en supposant qu'il augmente). ré . Le facteur par lequel le prix chute (en supposant qu'il tombe). Notez que le modèle suppose que le prix des capitaux propres sous-jacents à l'option suit une marche aléatoire. L'essence du modèle est la suivante: supposons que le prix d'un actif aujourd'hui est S 0 et que sur un intervalle de temps réduit 916t, il puisse passer à l'une de seulement deux valeurs futures potentielles S 0 u ou S 0 d. Le prix sous-jacent est supposé suivre une marche aléatoire et une probabilité p est affectée à la probabilité que le prix augmentera. D'où la probabilité d'une chute du cours de l'action est de 1 p. Conceptuellement, toutes les valeurs pour les trois paramètres, p. U et d peuvent être utilisés. (Sous réserve de 0 lt p lt 1 et S 0 d gt 0). Cependant, certaines valeurs sont plus optimales que d'autres. La question est donc de savoir comment calculer les meilleures valeurs. Il n'y a pas de réponse simple à cette question. En fait, il existe de nombreuses approches différentes pour calculer des valeurs pour p. U et d. Ceux-ci incluent des méthodes développées par, Cox-Ross-Rubinstein. C'est la méthode que la plupart des gens pensent lors de la discussion du modèle binomial, et celle discutée dans ce tutoriel. Jarrow-Rudd. C'est ce que l'on appelle communément le modèle à probabilité égale. Tian. C'est ce que l'on appelle couramment le modèle d'appariement instantané. Jarrow-Rudd Neutre de risque. Il s'agit d'une modification du modèle original de Judd-Yarrow qui intègre une probabilité neutre au risque plutôt qu'une probabilité égale. Cox-Ross-Rubinstein Avec la dérive. Il s'agit d'une modification du modèle original de Cox-Ross-Runinstein qui incorpore un terme de dérive qui influe sur la symétrie du réseau de prix résultant. Leisen-Reimer. Cela utilise une approche complètement différente de toutes les autres méthodes, en s'appuyant sur l'approximation de la distrbution normale utilisée dans le modèle de Black-Scholes. Parmi les approches ci-dessus, la méthode de Cox-Ross-Rubinstein est peut-être la plus connue, la méthode Jarrow-Rudd étant proche. Les autres méthodes ont été élaborées pour remédier aux déficiences perçues (et peut-être réelles) de ces deux méthodes. Un monde neutre en termes de risques Trois équations sont nécessaires pour pouvoir spécifier des valeurs uniques pour les trois paramètres du modèle binomial. Deux de ces équations découlent de l'attente que sur une petite période de temps le modèle binomial devrait se comporter de la même manière qu'un actif dans un monde neutre en termes de risques. Ceci conduit à l'équation 1: Rendement assorti qui assure que sur la petite période de temps 916t le rendement attendu du modèle binomial correspond au rendement attendu dans un monde neutre en termes de risque, et l'équation 2, La variance correspond. Cox-Ross-Rubinstein Cox, Ross et Rubinstein proposent la troisième équation Équation 3: Troisième équation pour le modèle binomial de Cox-Ross-Rubinstein Réorganiser les trois équations ci-dessus pour résoudre les paramètres p. U et d conduit à, Equation 4: Equations pour le modèle binomial Cox-Ross-Rubinstein La solution unique pour les paramètres p. U et d donnés dans l'équation 4 assure que sur une courte période, le modèle binomial correspond à la moyenne et à la variance d'un actif dans un monde sans risque et, comme on le verra plus loin, assure que pour un modèle multi-étapes, le prix de L'actif sous-jacent est symétrique autour du prix de départ S 0. Le modèle multi-étapes Avant d'envisager le cas plus général d'un modèle à plusieurs étapes, considérons le modèle en deux étapes illustré à la figure 1. Figure 2: Un modèle binomial en deux étapes Comme avec le modèle en une étape de la figure 1, La première période de temps dans le modèle en deux étapes le prix de l'actif peut se déplacer soit à S u ou à S d. Au cours de la deuxième période, si le prix est passé à S u au cours de la première période, le prix peut passer à S uu ou S ud. Toutefois, si le prix a baissé dans la première période à S d, alors dans la deuxième période, il peut passer à S du ou S dd. Si S ud S du alors l'arbre des prix est dit de se recombiner. Toutefois, s'ils ne sont pas égaux, alors l'arbre des prix est dit non recombiné (ou touché). Puisqu'il y a généralement des dizaines, voire des centaines de milliers de pas de temps pris lors de la tarification d'une option, la quantité de données (et donc la mémoire de l'ordinateur et le temps de calcul) requises pour calculer un arbre non touffu est généralement prohibitive et par conséquent elles sont rarement utilisées. La troisième équation du modèle CRR assure qu'il génère un arbre de recombinaison qui est centré autour du prix d'origine S 0. La prise de plusieurs étapes de temps conduit à l'arbre représenté à la Figure 3. Figure 3: Un modèle binomial à plusieurs étapes En général, la période entre aujourd'hui et l'expiration de l'option est découpée en plusieurs petites périodes de temps. Un arbre des prix futurs potentiels des actifs est ensuite calculé. Chaque point de l'arbre est appelé nœud. L'arbre contient des prix d'actifs futurs potentiels pour chaque période allant d'aujourd'hui jusqu'à l'échéance. Calcul des retombées à l'échéance La deuxième étape des options de tarification à l'aide d'un modèle binomial est de calculer les gains à chaque noeud correspondant au moment de l'expiration. Cela correspond à tous les noeuds situés à l'extrémité droite de l'arborescence des prix. En général, le rendement peut dépendre de nombreux facteurs différents. Par exemple, les gains des options simples d'achat et d'achat utilisent les formules standard n désigne un noeud avant l'échéance. V n est la valeur de l'option. X est la grève. S n est le cours de l'actif sous-jacent. P est la probabilité d'un mouvement de prix à la hausse. V u est la valeur d'option du noeud supérieur du noeud à n1. V u est la valeur d'option du nœud inférieur à n1. R est le taux d'intérêt sans risque. 916t est la taille d'étape entre les tranches de temps du modèle. Il est essentiel de noter qu'avec l'inductance inverse, le compteur n commence à N (c'est-à-dire expire) et diminue jusqu'à 0 (c'est-à-dire aujourd'hui). La valeur des options Suivant la procédure en trois étapes décrite ci-dessus, la valeur de l'option V 0 peut être calculée. Une implémentation MATLAB de l'algorithme CRR présentée ici peut être trouvée dans ce tutoriel. Un didacticiel d'évaluation des options associées discute des mathématiques derrière plusieurs modèles binomiaux alternatifs.
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